【题目】已知函数,,是函数的导函数.
(1)若,求证:对任意,;
(2)若函数有两个极值点,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)当时,,只需证明的最小值大于等于零即可;
(2)法一:函数有两个极值点,即在上有两个不等根,转化为在上有两个不等根,注意到和函数互为反函数,将所求问题进一步转化为和函数有两个不同的交点,构造函数,利用导数解决即可.法二:有两个变号零点,分,两种情况讨论,在讨论时,注意二次求导,结合极限即可得到答案.
(1)当时,,,
在上单调递增,
,
∴当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
∴,证毕.
(2)法一:函数有两个极值点,
即有两个变号零点,
即在上有两个不等根,
即在上有两个不等根,
即函数和的图象有两个不同的交点.
∵函数和函数互为反函数,
∴只需函数和函数有两个不同的交点,
即方程有两个不等正根,
令,,
∴当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
∴,
又∵时,;时,,
∴.
法二:函数有两个极值点,即有两个变号零点,
当时,,由(1),则在
上是增函数,无极值点,
当时,令,则,因为,
,且在上是增函数,存在,使得,
当时,,当时,,所以在上单调递
减,在上单调递增,则,由,
得,则,令,
,在上是减函数,所以,
即,又时,;时,,故在
上有两个变号的零点,从而函数有两个极值点,所以.
【点晴】
本题考查利用导数研究函数的极值、证明不等式的问题,考查学生的逻辑推理能力,转化与化归的思想,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某医药公司研发一种新的保健产品,从生产的一批产品中抽取200盒作为样本,测量产品的一项质量指标值,该指标值越高越好.由测量结果得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求,并试估计这200盒产品的该项指标的平均值;
(Ⅱ)国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于150均为合格,且按指标值的从低到高依次分为:合格、优良、优秀三个等级,其中为优良,不高于185为合格,不低于215为优秀.用样本的该项质量指标值的频率代替产品的该项质量指标值的概率.
①求产品该项指标值的优秀率;
②现从这批产品中随机抽取3盒,求其中至少有1盒该项质量指标值为优秀的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为迎接2022年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组:,得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生,该学生的比赛成绩不低于80分”,估计的概率;
(Ⅲ)在抽取的100名学生中,规定:比赛成绩不低于80分为“优秀”,比赛成绩低于80分为“非优秀”.请在答题卡上将列联表补充完整,并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?
参考公式及数据:,.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】中国改革开放以来经济发展迅猛,某一线城市的城镇居民2012~2018年人均可支配月收入散点图如下(年份均用末位数字减1表示).
(1)由散点图可知,人均可支配月收入y(万元)与年份x之间具有较强的线性相关关系,试求y关于x的回归方程(系数精确到0.001),依此相关关系预测2019年该城市人均可支配月收入;
(2)在2014~2018年的五个年份中随机抽取两个数据作样本分析,求所取的两个数据中,人均可支配月收入恰好有一个超过1万元的概率.
注:,,
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2020年新年伊始,新型冠状病毒来势汹汹,疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校,教育部就此提出了线上教学和远程教学,停课不停学的要求也得到了家长们的赞同.各地学校开展各式各样的线上教学,某地学校为了加强学生爱国教育,拟开设国学课,为了了解学生喜欢国学是否与性别有关,该学校对100名学生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢国学 | 不喜欢国学 | 合计 | |
男生 | 20 | 50 | |
女生 | 10 | ||
合计 | 100 |
(1)请将上述列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系?
(2)针对问卷调查的100名学生,学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组,并在这6人中任选2人作为宣传组的组长,设这两人中女生人数为,求的分布列和数学期望.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,.
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【题目】下面使用类比推理,得到的结论正确的是( )
A. 直线,若,则.类比推出:向量,,,若∥,∥,则∥.
B. 三角形的面积为,其中,,为三角形的边长,为三角形内切圆的半径,类比推出,可得出四面体的体积为,(,,,分别为四面体的四个面的面积,为四面体内切球的半径)
C. 同一平面内,直线,若,则.类比推出:空间中,直线,若,则.
D. 实数,若方程有实数根,则.类比推出:复数,若方程有实数根,则.
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