Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁和F₂，且点A（-，0），B（，0）在椭圆C上，又．
（1）求焦点F₂的轨迹C的方程；
（2）若直线y=kx+b（k＞0）与曲线C交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|，知|AF₂|-|BF₂|=|BF₁|-|AF₁|=2，故轨迹F为以A、B为焦点的双曲线的右支．由此能求出轨迹方程．
（2）由，得方程（4-k²）x²-2kbx-（b²+4）=0有两个正根x₁，x₂．所以，由此能求出b的取值范围．
解答：解：（1）|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|，
∴|AF₂|-|BF₂|=|BF₁|-|AF₁|=6-4=2，
故轨迹F为以A、B为焦点的双曲线的右支．
设其方程为：，
∵2a=2，
∴a=1，b²=c²-a²=4．
故轨迹方程为．…（6分）
（2）由，消去y整理，得
方程（4-k²）x²-2kbx-（b²+4）=0有两个正根x₁，x₂．
∴，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由条件知x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²+b²，
∴（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0，
即，
整理得3b²=4（k²+1），即，
∴b²-k²+4＞0，
即显然成立．
∴
而k＞0，∴b＜0．
∴．
∴．
故b的取值范围为（-∞，-）．…（13分）
点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．