【题目】下列说法中正确的个数是( )
(1) 已知,,,则
(2)将6个相同的小球放入4个不同的盒子中,要求不出现空盒,共有10种放法.
(3) 被除后的余数为.
(4) 若,则=
(5)抛掷两个骰子,取其中一个的点数为点的横坐标,另一个的点数为点的纵坐标,连续抛掷这两个骰子三次,点在圆内的次数的均值为
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
(1)中直接使用二项分布公式,,可计算;
(2)中相同元素分组采用隔板法,6个球中间5个空隙,分4组只需插入3个隔板即可;
(3),展开式中除了最后一项1都是49的倍数,都能被7整除;
(4)偶数项的系数和只需分别令和,再两式相加减即可;
(5)显然服从二项分布,n=3,所以只需算出成功的概率P,然后用可计算.
解:,,,解得,(1)正确;
6个相同的小球放入4个不同的盒子中,要求不出现空盒,即每个盒子至少1个,采用隔板法共种,(2)正确;,展开式中只有最后一项1不是7的倍数,所以被除后的余数为,(3)错误;在中,分别令和得,,两式相加除以2得:=,(4)正确;抛掷两个骰子点共有36种情况,其中在圆内的有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)共8种,所以掷这两个骰子一次,点在圆内的概率为,因为,所以的均值为,(5)错误;所以共有3个正确
故选C.
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【题目】[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=log ( |x + 1| + |x- 1|- a ).
(I)当a=3时,求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若不等式f(x)的解集为R,求实数a的最大值.
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【题目】已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围.
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【题目】已知函数(,且).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的单调增区间为,单调减区间为.(Ⅱ)当时, ;当时, .
【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得在上单调递减,在上单调递增,由此可知.利用导数和对分类讨论求得函数在不同取值时的最大值.
【试题解析】
(Ⅰ),
设 ,则.
∵, ,∴在上单调递增,
从而得在上单调递增,又∵,
∴当时, ,当时, ,
因此, 的单调增区间为,单调减区间为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在上单调递减,在上单调递增,
由此可知.
∵, ,
∴.
设,
则 .
∵当时, ,∴在上单调递增.
又∵,∴当时, ;当时, .
①当时, ,即,这时, ;
②当时, ,即,这时, .
综上, 在上的最大值为:当时, ;
当时, .
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆的普通方程为. 在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为 .
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与轴和轴的交点分别为,为圆上的任意一点,求的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.
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【题目】探究函数的图像时,列表如下:
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
观察表中y值随x值的变化情况,完成以下的问题:
(1)函数的递减区间是 ,递增区间是 ;
(2)若对任意的恒成立,试求实数m的取值范围.
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