Question

科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用．现在准备在一个朝正南方向倾角为α的斜坡上种树，假设树高为h m，当太阳在北偏东β而仰角为γ时，该树在坡面上的影长为多少米？

Answer 1

分析：如下图，DE是高度为h的树，斜坡AD朝正南方向，AB为东西方向，BC为南北方向．∠CBD=α，∠ACB=β，∠EAC=γ，∠AED=90°-γ，影长AD=x为未知量．但x难以直接与上述诸已知量发生联系，故设∠DAC=θ为辅助未知量，以揭示x与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁．

解答：解：在△ADE中，

h

sin(γ-θ)

=

x

sin(90°-γ)

，
即

x

cosγ

=

h

sin(γ-θ)

．①
在△ACD中，CD=xsinθ，AC=xcosθ．
在△ABC中，BC=ACcosβ=xcosθcosβ．
在△BCD中，tanα=

CD

BC

=

xsinθ

xcosθcosβ

=

sinθ

cosθcosβ

．②
由①推得x=

h

sin(γ-θ)

cosγ③
由②推得tanθ=tanαcosβ，
即θ=arctan（tanαcosβ）．
代入③，即得树在坡面上的影长x=

hcosγ

sin[γ-arctan(tanαcosβ)]

点评：本题主要考查正弦定理和反三角函数的应用．三角函数在解决实际问题时有着重要的作用，从这个题也可以看出数学在生活中的用途．