Question

10．已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a²+1}．
（Ⅰ）当a=-2时，求A∪B；
（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由已知中集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，集合B={x|（x-2a）（x-a²-1）＜0}，我们先对a进行分类讨论后，求出集合A，B，再由B⊆A，我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围

解答 （Ⅰ）解：当a=-2时，A={x|-5＜x＜2}，B={x|-4＜x＜5}，
∴A∪B={x|-5＜x＜5}．
（Ⅱ）∵B={x|2a＜x＜a²+1}
当$a＜\frac{1}{3}$时，2＞3a+1，A={x|3a+1＜x＜2}，--------（6分）
要使B⊆A必须 
此时a=-1，
当 $a=\frac{1}{3}$时，A=ϕ，使 B⊆A的a不存在；-----------（10分）
当 $a＞\frac{1}{3}$ 时，2＜3a+1，A={x|2＜x＜3a+1}要使B⊆A
必须 $\left\{\begin{array}{l}{2a≥2}\\{{a}^{2}+1≤3a+1}\end{array}\right.$，
故 1≤a≤3．----------------------------------------------------------（12分）
综上可知，使的实数a的取值范围为[1，3]∪{-1}．-----（13分）

点评 本题考查集合的基本运算，集合关系中的参数取值问题，考查计算能力，分类讨论思想的应用