Question

（2013•大兴区一模）已知函数f（x）=（ax+1）e^x．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[2，0]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）求导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论即可解得，由导数与函数单调性关系即得单调区间；
（Ⅱ）根据（I）中a＞0时函数的单调性进行讨论：按极值点x=-

a+1

a

在区间[-2，0]左侧、区间内两种情况讨论，由单调性即可得到最小值；

解答：解：定义域为R，f′（x）=（ax+1）′e^x+（ax+1）（e^x）′=e^x（ax+a+1），
（Ⅰ）①当a=0时，f′（x）=e^x＞0，则f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
②当a＞0时，解f′（x）＞0得，x＞-

a+1

a

，解f′（x）＜0得，x＜-

a+1

a

，
则f（x）的单调增区间为(-

a+1

a

，+∞)，f（x）的单调减区间为(-∞，-

a+1

a

)；
③当a＜0时，解f′（x）＞0得，x＜-

a+1

a

，解f′（x）＜0得，x＞-

a+1

a

，
则f（x）的单调增区间为(-∞，-

a+1

a

)，f（x）的单调减区间为(-

a+1

a

，+∞)；
（Ⅱ）①当

a＞0 - a+1 a ＞-2

时，即当a＞1时，f（x）在(-2，-

a+1

a

)上是减函数，在(-

a+1

a

，0)上是增函数，
则函数f（x）在区间[-2，0]上的最小值为 f(-

a+1

a

)=-ae-

a+1

a

；
②当

a＞0 - a+1 a ≤-2

时，即当0＜a≤1时，f（x）在[-2，0]上是增函数，
则函数f（x）在区间[-2，0]上的最小值为f(-2)=

1-2a

e2

，
综上：当a＞1时，f（x）在区间[-2，0]上最小值为-ae-

a+1

a

，当0＜a≤1时，f（x）在区间[-2，0]上最小值为

1-2a

e2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属中档题．