Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，且前n项和为S_n满足Sn=n2an，(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并归纳出a_n的通项公式；
（2）由（1）问结论，用反证法证明不等式：a_n＞a_n+1．

Answer 1

分析：（1）由Sn=n2an，a1=

1

2

，分别令n等于2，3，4，即可得到数列的前4项，由此归纳出{a_n}的通项公式．
（2）假设a_n≤a_n+1，则由{a_n}的通项公式

1

n(n+1)

≤

1

(n+1)(n+2)

，即

1

n

≤

1

n+2

，即n+2≤n，即2≤0矛盾，从而证得a_n＞a_n+1 成立．

解答：解：（1）由Sn=n2an，a1=

1

2

得：
当n=2时，S₂=4a₂，即a₁+a₂=4a₂，∴a2=

1

6

．
当n=3时，S₃=9a₃，即a₁+a₂+a₃=9a₃，a3=

1

12

．
当n=4时，S₄=16a₄，即a₁+a₂+a₃+a₄=16a₄，a4=

1

20

．
归纳出：an=

1

n(n+1)

(n∈N*)．
（2）假设a_n≤a_n+1，则有

1

n(n+1)

≤

1

(n+1)(n+2)

，即

1

n

≤

1

n+2

，
由此解得 n+2≤n，即2≤0，矛盾．
∴假设不成立，故 a_n＞a_n+1成立，不等式得证．

点评：本题主要考查用数列的递推式求数列的前几项，用反证法和放缩法证明数学命题，掌握好放缩的程度，是解题的难点，属于中档题．