Question

15．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆上一点，且|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PF₁|，则∠PF₁F₂的最大值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 运用椭圆的定义，结合条件可得|PF₁|=4（2-$\sqrt{3}$）a，|PF₂|=2$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）a，在△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，运用余弦定理和基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：由椭圆的定义可得|PF₂|+|PF₁|=2a，
又|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PF₁|，
可得|PF₁|=4（2-$\sqrt{3}$）a，|PF₂|=2$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）a，
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，
cos∠PF₁F₂=$\frac{4{c}^{2}+16（7-4\sqrt{3}）{a}^{2}-12（7-4\sqrt{3}）{a}^{2}}{4c•4（2-\sqrt{3}）a}$
=$\frac{c}{4（2-\sqrt{3}）a}$+$\frac{（2-\sqrt{3}）a}{4c}$≥2•$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当c=（2-$\sqrt{3}$）a时取得等号，
则∠PF₁F₂的最大值为$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查椭圆的定义和性质，同时考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．