Question

11．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过右焦点F₂的直线交椭圆于A、B两点，且AF₂=2F₂B，tan∠AF₁B=$\frac{3}{4}$，则该椭圆的离心率等于$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，tan∠AF₁B=$\frac{3}{4}$，可得cos∠AF₁B=$\frac{4}{5}$．设|BF₂|=m，则|AF₂|=2m．由椭圆的定义可得：|AF₁|=2a-2m，|BF₁|=2a-m．在△ABF₁中，由余弦定理可得：$\frac{4}{5}$=cos∠AF₁B=$\frac{（2a-2m）^{2}+（2a-m）^{2}-（3m）^{2}}{2×（2a-2m）（2a-m）}$，化为m=$\frac{a}{3}$．在Rt△AF₁F₂中，利用勾股定理即可得出．

解答 解：如图所示，
tan∠AF₁B=$\frac{3}{4}$，∴cos∠AF₁B=$\frac{4}{5}$．
设|BF₂|=m，则|AF₂|=2m．
由椭圆的定义可得：|AF₁|=2a-2m，|BF₁|=2a-m．
在△ABF₁中，由余弦定理可得：$\frac{4}{5}$=cos∠AF₁B=$\frac{（2a-2m）^{2}+（2a-m）^{2}-（3m）^{2}}{2×（2a-2m）（2a-m）}$，
化为m=$\frac{a}{3}$．
∴|AF₁|=2a-2m=$\frac{4a}{3}$，|BF₁|=2a-m$\frac{5a}{3}$，AB=3m=a．
∴$|AB{|}^{2}+|A{F}_{1}{|}^{2}=|B{F}_{1}{|}^{2}$，
∴A=90°．
在Rt△AF₁F₂中，由勾股定理可得：$（\frac{4a}{3}）^{2}+（\frac{2a}{3}）^{2}=4{c}^{2}$，
化为$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$=e．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．