Question

（2011•盐城模拟）设等差数列{a_n}满足：公差d∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若a₁=3⁵，则d的所有可能取值之和为

364

．

Answer 1

分析：先求出数列的通项公式，求出数列{a_n}中任意两项之和，根据数列{a_n}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=

243

k+1-m-n

，再结合k，m，n，d∈N^*，即可求出d的所有可能取值进而求出结论．

解答：解：设等差数列的公差为d，若a₁=3⁵，=243，则a_n=243+（n-1）d．
所以数列{a_n}中任意两项之和a_m+a_n=243+（m-1）d+243+（n-1）d=486+（m+n-2）d．
设任意一项为a_k=243+（k-1）d．
则由a_m+a_n=a_k 可得 243+（m+n-k-1）d=0，化简可得 d=

243

k+1-m-n

．
再由k，m，n，d∈N^*，可得 k+1-m-n=1，3，9，27，81，243，
∴d=243，81，27，9，3，1，
则d的所有可能取值之和为 364，
故答案为 364．

点评：本题主要考查等差数列的性质．解决问题的关键在于利用数列{a_n}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=

243

k+1-m-n

，属于中档题．