Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，∠DAB=90°，AD=2BC，PB⊥平面PAD．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）设点E在棱PA上，PC∥平面EBD，求

PE

EA

的值．

Answer 1

分析：（1）由PB⊥平面PAD得到PB⊥AD，结合AB⊥AD利用线面垂直判定定理，可得AD⊥平面PAB．
（2）连结AC交BD于点F，连结EF．根据线面平行性质定理证出PC∥EF．梯形ABCD中证出△ADF∽△CBF，从而得到

AF

FC

=

AD

BC

=2．最后在△PAC中利用平行线分线段成比例定理，即可求出

PE

EA

的值为

1

2

．

解答：解：（1）∵PB⊥平面PAD，AD?平面PAD，
∴PB⊥AD． …（2分）
∵AB⊥AD，AB∩PB=B，∴AD⊥平面PAB．        …（5分）
（2）连结AC交BD于点F，连结EF． …（6分）
∵PC∥平面EBD，PC?平面PAC，
平面EBD∩平面PAC=EF，
∴PC∥EF．           …（9分）
由BC∥AD，得△ADF∽△CBF．
∴结合AD=2BC，得

AF

FC

=

AD

BC

=2．…（12分）
∵△PAC中，PC∥EF，∴

PE

EA

=

CF

AF

=

1

2

． 
即

PE

EA

的值为

1

2

    …（14分）

点评：本题在四棱锥中证明线面垂直，并求线面平行时线段的比．着重考查了空间直线与平面平行的性质定理，线面垂直的判定与性质和平行线的性质等知识，属于中档题．