Question

对任意的正整数n，猜测：2^n-1与（n+1）²的大小．写出你的结论．并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】分析：对n=1，2，3，4，…取值验证或借助于函数y=2^x与y=x²的图象，找出最小的正整数m等于6，再按照数学归纳法的步骤进行证明．
解答：解：当n=1时2^n-1＜（n+1）²
当n=2时，2^2-1=2＜（2+1）²
当n=3时，2^3-1=4＜（3+1）²
当n=4时2^4-1＜（4+1）²
当n=5时2^5-1＜（5+1）²
当n=6时  2^6-1＜（6+1）²
当n=7时  2^7-1=（7+1）²
当n=8时  2^8-1＞8+1）²
…
猜想当n≥8，2^n-1＞（n+1）² 恒成立．
数学归纳法证明：
（1）当n=8时，2^8-1=128，（8+1）²=81，128＞81，2^n-1＞（n+1）² 成立
（2）假设当n=k（k≥8）时不等式成立，即有2^k-1＞（k+1）²
则当n=k+1时，2^（k+1）-1=2^k=2•2^k-1＞2•（k+1）²=k²+[（k+2）²-2]＞（k+2）²  （∵k²-2＞0）
=[（k+1）+1]²，即是说 当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）可知当n≥8，时2^n-1＞（n+1）² 恒成立．
点评：本题考查猜想、证明的推理方法，考查数学归纳法证明命题．注意证明的步骤的应用．