Question

已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，
（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．
（3）若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2中，令x=y=0，再验证即可求出f（0）=2．设x＜0，则-x＞0，利用f(x)=

f(-x)

f(-x)-1

=1+

1

f(-x)-1

结合x＞0时，f（x）＞2，再证明．
（2）设x₁＜x₂，将f（x₂）转化成f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₂-x₁）-f（x₁）+2=f（x₂-x₁）[f（x₁）-1]-f（x₁）+2，得出了f（x₂）与f（x₁）关系表达式，
且有f（x₂-x₁）＞2，可以证明其单调性．
 （3）结合（2）分析出x∈（-∞，0）时，f（x）-k＜0，k大于 f（x）的最大值即可．

解答：解：（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2令x=y=0，
f（0）=f（0）•f（0）-f（0）-f（0）+2
∴f²（0）-3f（0）+2=0，f（0）=2或 f（0）=1
若 f（0）=1
 则 f（1）=f（1+0）=f（1）•f（0）-f（1）-f（0）+2=1，
与已知条件x＞0时，f（x）＞2相矛盾，∴f（0）=2                         （1分）
设x＜0，则-x＞0，那么f（-x）＞2
又2=f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）-f（x）-f（-x）+2
∴f(x)=

f(-x)

f(-x)-1

=1+

1

f(-x)-1

∵f（-x）＞2
，∴0＜

1

f(-x)-1

＜1，从而1＜f（x）＜2（3分）
（2）函数f（x）在R上是增函数
设x₁＜x₂则x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞2
f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₂-x₁）-f（x₁）+2
=f（x₂-x₁）[f（x₁）-1]-f（x₁）+2
∵由（1）可知对x∈R，f（x）＞1，∴f（x₁）-1＞0，又f（x₂-x₁）＞2
∴f（x₂-x₁）•[f（x₁）-1]＞2f（x₁）-2
f（x₂-x₁）[f（x₁）-1]-f（x₁）+2＞f（x₁）
即f（x₂）＞f（x₁）
∴函数f（x）在R上是增函数                                               （3分）
（3）∵由（2）函数f（x）在R上是增函数
∴函数y=f（x）-k在R上也是增函数
若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减
则x∈（-∞，0）时，g（x）=|f（x）-k|=k-f（x）
即x∈（-∞，0）时，f（x）-k＜0，
∵x∈（-∞，0）时，f（x）＜f（0）=2，∴k≥2（3分）

点评：本题是抽象函数类型问题．解决的办法是紧紧抓住题目中给出的抽象函数的性质，对字母灵活准确地赋值，一般可求出某一函数值，f（x）与f（-x） 的关系式，在探讨单调性时，可将区间上的实数x₁，x₂，写成x₂ =（x₂-x₁ ）+x₁ 或x₂ =（x₂÷x₁ ）×x₁ 建立f（x₂）与f（x₁）关系式，结合前述性质证明．