Question

（2012•崇明县一模）定义：对于定义域为D的函数f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，称函数f（x）在D上是“T”函数．已知下列函数：
①f（x）=

1

x

；　
②f（x）=log₂（x²+2）；
③f（x）=2^x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中属于“T”函数的序号是

③

．（写出所有满足要求的函数的序号）

Answer 1

分析：①

1

t+1

=

1

t

+1，属于t²+t+1=0，方程无实数解；
②log₂[（t+1）²+2]=log₂（t²+2）+log₂3，∴2t²-2t+3=0，方程无实数解；
③2^t+1=2^t+2，属于t=1＞0，即存在t=1∈（0，+∞），使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立；
④cos（π+tπ）=costπ-1，所以t=

1

3

，此时t+1=

4

3

∉[0，1]．

解答：解：①由题意，若存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，则

1

t+1

=

1

t

+1，整理得t²+t+1=0，方程无实数解，故①不是“T”函数；
②由定义可得：log₂[（t+1）²+2]=log₂（t²+2）+log₂3，即2t²-2t+3=0，方程无实数解，故②不是“T”函数；
③由定义可得：2^t+1=2^t+2，∴t=1＞0，即存在t=1∈（0，+∞），使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，故③是“T”函数；
④由定义可得：cos（π+tπ）=costπ-1，即2costπ=1，解得t=

1

3

，此时t+1=

4

3

∉[0，1]，故④不是“T”函数．
综上知，属于“T”函数的序号是③
故答案为：③

点评：本题考查新定义，考查学生的阅读能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．