Question

在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为

1

3

，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．
（1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）设事件A₁表示甲选22题，A₂表示甲选23题，A₃表示甲选24题，B₁表示乙选22题，B₂表示乙选23题，B₃表示乙选24题，则甲、乙两人选做同一题事件为A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，根据独立事件概率乘法公式，可得答案．
（2）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．结合5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为

1

3

，可计算出ξ的分布列及数学期望

解答：解：（1）设事件A₁表示甲选22题，A₂表示甲选23题，A₃表示甲选24题，
B₁表示乙选22题，B₂表示乙选23题，B₃表示乙选24题，
则甲、乙两人选做同一题事件为A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
且A₁与B₁，A₂与B₂，A₃与B₃相互独立，
所以P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=3×

1

9

=

1

3

…（4分）
（2）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
且5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为

1

3

，
∴P(ξ=k)=

C

k 5

(

1

3

)k(

2

3

)5-k=

C

k 5

25-k

35

，k=0，1，2，3，4，5
∴分布列为

ξ	0	1	2	3	4	5
P	32 243	80 243	80 243	40 243	10 243	1 243

∴E(ξ)=np=5×

1

3

=

5

3

…（12分）

点评：此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．