Question

．（本小题满分14分）

已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的动

点。

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点，

使得为定值？，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接 并延长

交椭圆于点，证明：；

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由题设可知：……………………………2分

          故……………………………3分

          故椭圆的标准方程为：……………………………4分

（Ⅱ）设，由可得：

……………………………5分

由直线OM与ON的斜率之积为可得：

 ，即……………………………6分

 由①②可得：

     M、N是椭圆上，故

     故，即……………..8分

    由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值;….9分；

（Ⅲ）设

  由题设可知………..10分

  由题设可知斜率存在且满足………….③

  …………………12分

  将③代入④可得：

……⑤………….13分

 点在椭圆，故

所以…………14分

 

【解析】略