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已知点是抛物线上相异两点,且满足
(Ⅰ)若的中垂线经过点,求直线的方程;
(Ⅱ)若的中垂线交轴于点,求的面积的最大值及此时直线的方程.
(Ⅰ)(Ⅱ).

试题分析:(Ⅰ) 利用导数分析单调性,进而求最值;(Ⅱ)利用不等式的放缩和数列的裂项求和
试题解析:(I)方法一
(I)当垂直于轴时,显然不符合题意,
所以可设直线的方程为,代入方程得:

       得:                2分
∴直线的方程为 
中点的横坐标为1,∴中点的坐标为                  4分       
的中垂线方程为             
的中垂线经过点,故,得                 6分
∴直线的方程为                                   7分
(Ⅱ)由(I)可知的中垂线方程为,∴点的坐标为     8分
因为直线的方程为
到直线的距离               10分
 得,

                     12分
,  设,则
,由,得 
上递增,在上递减,当时,有最大值
得:时,    
直线方程为                                15分
(本题若运用基本不等式解决,也同样给分)
法二:
(Ⅰ)当垂直于轴时,显然不符合题意,
不垂直于轴时,根据题意设的中点为
                                          2分
两点得中垂线的斜率为,                            4分
,得                                              6分
∴直线的方程为                                          7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线的方程为                          8分
中垂线方程为,中垂线交轴于点
到直线的距离为                         10分
得:


     
时,有最大值,此时直线方程为       15分
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