Question

已知点，是抛物线上相异两点，且满足．
（Ⅰ）若的中垂线经过点，求直线的方程；
（Ⅱ）若的中垂线交轴于点，求的面积的最大值及此时直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）.

试题分析：(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放缩和数列的裂项求和
试题解析：（I）方法一
（I）当垂直于轴时，显然不符合题意，
所以可设直线的方程为，代入方程得：

∴       得：                2分
∴直线的方程为 
∵中点的横坐标为1，∴中点的坐标为                  4分       
∴的中垂线方程为             
∵的中垂线经过点，故，得                 6分
∴直线的方程为                                   7分
（Ⅱ）由（I）可知的中垂线方程为，∴点的坐标为     8分
因为直线的方程为
∴到直线的距离               10分
由 得，，

                     12分
∴,  设,则，
，，由，得 
在上递增，在上递减，当时，有最大值
得：时，    
直线方程为                                15分
(本题若运用基本不等式解决，也同样给分)
法二：
（Ⅰ）当垂直于轴时，显然不符合题意，
当不垂直于轴时，根据题意设的中点为，
则                                          2分
由、两点得中垂线的斜率为，                            4分
由，得                                              6分
∴直线的方程为                                          7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线的方程为                          8分
中垂线方程为，中垂线交轴于点
点到直线的距离为                         10分
由得：


     
当时，有最大值，此时直线方程为       15分