【题目】以边长为4的等比三角形
的顶点
以及
边的中点
为左、右焦点的椭圆过
两点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点
且
轴不垂直的直线
交椭圆于
两点，求证直线
与
的交点在一条直线上.
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：
（1）先建立直角坐标系，使椭圆方程为标准方程，则
（2）研究圆锥曲线的定值问题，一般方法为以算代证，即先求两直线交点坐标，再确定交点所在定直线：由对称性可知两直线交点必在垂直于x轴的直线上，因此运算目标为求交点横坐标为定值，设
的方程为
，
，则
：
，
：
，消去y得
，再利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得
，
，代入化简得
试题解析：（1） 由题意可知两焦点为
与
，且
，因此椭圆的方程为. （4分）
（2） ① 当
不与
轴重合时，
设的方程为
，且
，
联立椭圆与直线
消去
可得
，即，
设
，
则： ①
： ②
②-①得
则
，即.
②当
与
轴重合时，即
的方程为
，即
，
.
即：
①
：
②
联立①和②消去
可得.
综上
与
的交点在直线上.
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【题目】在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，右顶点为
，直线
过原点
，且点
在x轴的上方，直线
与
分别交直线
：
于点
、
.
（1）若点
，求椭圆的方程及△ABC的面积；
（2）若为动点，设直线与
的斜率分别为
、
.
①试问
是否为定值？若为定值，请求出；否则，请说明理由；
②求△AEF的面积的最小值.
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【题目】某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ) 求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
(Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(Ⅲ) 设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），现从成绩属于该区间的学生中任选两人，求甲、乙中至少有一人被选的概率.
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【题目】设事件A表示“关于
的一元二次方程
有实根”，其中
，
为实常数.
（Ⅰ）若为区间[0，5]上的整数值随机数，为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）若为区间[0，5]上的均匀随机数，为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率.
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【题目】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若l⊥m，mα，则l⊥α
B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C. 若l∥α，mα，则l∥m
D. 若l∥α，m∥α，则l∥m
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【题目】刘老师是一位经验丰富的高三理科班班主任，经长期研究，他发现高中理科班的学生的数学成绩（总分150分）与理综成绩（物理、化学与生物的综合，总分300分）具有较强的线性相关性，以下是刘老师随机选取的八名学生在高考中的数学得分x与理综得分y（如下表）：
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学分数x | 52 | 64 | 87 | 96 | 105 | 123 | 132 | 141 |
理综分数y | 112 | 132 | 177 | 190 | 218 | 239 | 257 | 275 |
参考数据及公式： 
．
（1）求出y关于x的线性回归方程；
（2）若小汪高考数学110分，请你预测他理综得分约为多少分？（精确到整数位）；
（3）小金同学的文科一般，语文与英语一起能稳定在215分左右．如果他的目标是在
高考总分冲击600分，请你帮他估算他的数学与理综大约分别至少需要拿到多少分？（精确到整数位）．
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