Question

7．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC；⑤平面PBC⊥平面PAC．其中正确命题的序号是①②③⑤．

Answer 1

分析 PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点⇒BC⊥平面PAC，继而可证BC⊥AF，AF⊥PC，从而易证AF⊥平面PBC，从而可对①②③④⑤作出判断．

解答 解：∵PA⊥圆O所在的平面α，BC?α，∴PA⊥BC，
AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，∴BC⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，
∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC=C，
∴AF⊥平面PBC，PB?平面PBC，
∴AF⊥PB，即①正确；
又AE⊥PB，同理可证PB⊥平面AFE，EF?平面AFE，
∴EF⊥PB，即②正确；
由BC⊥平面PAC，AF?平面PAC知，BC⊥AF，即③正确；
∵AF⊥平面PBC（前边已证），AE∩AF=A，
∴AE不与平面PBC垂直，故④错误，
∵AF⊥平面PBC，且AF?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBC，即⑤正确．
综上所述，正确结论的序号是①②③⑤．
故答案为：①②③⑤

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与线面垂直的性质定理，考查推理与证明的能力，属于中档题．