Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=lg ，若对任意实数t∈[ ，2]，都有f（t+a）﹣f（t﹣1）≥0恒成立，则实数a的取值范围 ．

Answer 1

【答案】[0,+∞）∪（﹣∞,﹣3]∪{﹣1}
【解析】解：当x＞0时，f（x）=）=lg =lg ，

∵y=2﹣x是减函数，可得f（x）在（0，+∞）单调递增．

∵对任意实数t∈[ ，2]，都有f（t+a）﹣f（t﹣1）＞0即f（t+a）＞f（t﹣1）恒成立，

又f（x）是定义在R上的偶函数，

∴|t+a|＞|t﹣1|，（2a+2）t+a2﹣1＞0在t∈[ ，2]上恒成立，

，

化简得 解得a≥0或a≤﹣3或a=﹣1

所以答案是：[0，+∞）∪（﹣∞，﹣3]∪{﹣1}．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．