Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC．
（Ⅰ）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC₁；
（Ⅱ）过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱于M，若AM=MA₁，求证：截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C；
（Ⅲ） AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要条件吗？请你叙述判断理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）2个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，可证AD⊥BB₁C₁C．
（Ⅱ）延长B₁A₁与BM交于N，连接C₁N，可证C₁N⊥C₁B₁，由截面NB₁C₁⊥侧面BB₁C₁C，可得 C₁N⊥侧面BB₁C₁C，
进而证明截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C．
（Ⅲ）结论是肯定的，充分性已由（2）证明．必要性的证明：过M作ME⊥BC₁于E，可证ME⊥侧面BB₁C₁C，
AM∥DE，E是BC₁的中点，AM=DE=

1

2

CC₁=

1

2

AA₁．故必要性成立．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AD⊥侧面BB₁C₁C．∴AD⊥CC₁．

（Ⅱ）解：延长B₁A₁与BM交于N，连接C₁N．
∵AM=MA₁，∴NA₁=A₁B₁．∵A₁B₁=A₁C₁，
∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁．∴C₁N⊥C₁B₁．
∵截面NB₁C₁⊥侧面BB₁C₁C，∴C₁N⊥侧面BB₁C₁C．
∴截面C₁NB⊥侧面BB₁C₁C．∴截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C．

（Ⅲ）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，
下面证必要性：过M作ME⊥BC₁于E，∵截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C，
∴ME⊥侧面BB₁C₁C．    又∵AD⊥侧面BB₁C₁C，
∴ME∥AD．
∴M，E，A，D共面．
∵AM∥侧面BB₁C₁C，∴AM∥DE．
∵CC₁∥AM，∴DE∥CC₁．
∵D是BC的中点，
∴E是BC₁的中点．
∴AM=DE=

1

2

CC₁=

1

2

AA₁．
∴AM=MA₁．

点评：利用线面垂直，证明线线垂直；通过在一个面内找一条线和另一个面垂直，来证明面面垂直．