【题目】已知点（2，3）在椭圆 
上，设A，B，C分别为椭圆的左顶点、上顶点、下顶点，且点C到直线AB的距离为 
．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）（x1≠x2）为椭圆上的两点，且满足 
= 
，求证：△MON的面积为定值，并求出这个定值．
【答案】解：（Ⅰ）由题意，得直线AB的方程为 
，点C（0，﹣b），
∴点C到直线AB的距离 
，整理，得 
． ①
又点（2，3）在椭圆上，所以 
． ②
联立①②解得 
，
所以椭圆的C的方程为 
．
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48=0．
∵△=64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣12）=48（12+16k2﹣m2）＞0，∴12+16k2﹣m2＞0，∴ 
， 
，
∴ 
．
又 
，则由题意，得 
，
整理，得3x1x2+4y1y2=0，则 
，
整理，得m2=6+8k2（满足△＞0）．
∵ 
= 
═ 
…
又点O到直线MN的距离d= 
，
∴ 
= 
= 
（定值）．
【解析】（1）由截距式方程得出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式得出等式，再根据点（2,3）再椭圆上，解出a，b的值，得出椭圆方程；（2）设MN的方程，代入椭圆方程消元，得到
,根据向量积得到等式
,通过距离公式表示三角形面积，推出面积为定值.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能正确解答此题．
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f（x）=x2+ 
+alnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判．每局比赛结束时，负的一方在下局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为 
，甲胜丙、乙胜丙的概率都是 
，各局比赛的结果相互独立，第一局甲当裁判．
（1）求第3局甲当裁判的概率；
（2）记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的分布列和数学期望．
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【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD= 
AC=2，∠ACB=∠ACD= 
．
（1）证明：AP⊥BD；
（2）若AP= 
，AP与BC所成角的余弦值为 
，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．
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【题目】已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ 
，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（ ）
A.bc（b+c）＞8
B.ab（a+b）＞16 
C.6≤abc≤12
D.12≤abc≤24
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【题目】如图，点F是抛物线τ：x2=2py （p＞0）的焦点，点A是抛物线上的定点，且 
=（2，0），点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k1 ， k2 ． 
（I）求抛物线τ的方程；
（Ⅱ）若k1﹣k2=2，点D是点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S为定值．
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