Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F（

3

，0），长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程，
（2）点P是圆x²+y²=b²上第一象限内的任意一点，过P作圆的切线与椭圆C交于Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）（y₁＞y₂）两点．①求证：|PQ|+|FQ|=2．②求|QR|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得c=

3

，2a=4，再利用b=

a2-c2

=1，即可得到椭圆C的方程．
（2）由于点Q（x₁，y₁）在椭圆上，可得

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，利用两点间的距离公式可得|QF|=

(x1- 3 )2+ y 2 1

．利用切线的性质和勾股定理可得|PQ|=

|OQ|2-|OP|2

，即可得出|PQ|+|QF|=2．
②同理可得|PR|+|RF|=2．于是|QR|+|QF|+|FR|=4，利用三角形三边的关系可得|QR|≤|QF|+|FR|，可得当QR过点F时取最大值2．

解答：解：（1）由题意可得c=

3

，2a=4，
∴a=2，b=

a2-c2

=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）∵点Q（x₁，y₁）在椭圆上，∴

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，
∴|QF|=

(x1- 3 )2+ y 2 1

=

(x1- 3 )2+1- x 2 1 4

=

( 3 2 x1-2)2

=2-

3

2

x1．
|PQ|=

|OQ|2-|OP|2

=

x 2 1 + y 2 1 -1

=

x 2 1 - x 2 1 4

=

3

2

x1，
∴|PQ|+|QF|=2．
②同理可得|PR|+|RF|=2．
则|QR|+|QF|+|FR|=4，又|QR|≤|QF|+|FR|，
∴2|QR|≤4，即|QR|≤2．
∴当QR过点F时取最大值2．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、两点间的距离公式、圆的切线的性质、勾股定理、三角形三边大小关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．