Question

（2013•佛山一模）对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
①f（x）在[m，n]内是单调的；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)存在“和谐区间”，则a的取值范围是（　　）

• A．（0，1）
• B．（0，2）
• C．（

  1

  2

  ，

  5

  2

  ）
• D．（1，3）

Answer 1

分析：易得函数在区间[m，n]是单调的，由f（m）=m，f（n）=n可得故m、n是方程ax²-（a+1）x+a=0的两个同号的实数根，由△=（a+1）²-4a²＞0，解不等式即可．

解答：解：由题意可得函数f（x）=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)在区间[m，n]是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程

a+1

a

-

1

x

=x的两个同号的实数根，
即方程ax²-（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn=

a

a

=1＞0，
故只需△=（a+1）²-4a²＞0，解得-

1

3

＜a＜1，
结合a＞0，可得0＜a＜1
故选A

点评：本题考查函数单调性的判断和一元二次方程的根的分布，属基础题．