【题目】已知圆N经过点A(3,1),B(﹣1,3),且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上.
(1)求圆N的方程;
(2)若点D为圆N上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)(x﹣2)2+(y﹣4)2=10(2)
【解析】
试题分析:(1)首先设出方程,将点坐标代入得到关于参数的方程组,通过解方程组得到参数值,从而确定其方程;(2)首先设出点M的坐标,利用中点得到点D坐标,代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程
试题解析:(Ⅰ)由已知可设圆心N(a,3a﹣2),又由已知得|NA|=|NB|, 从而有,解得:a=2.
于是圆N的圆心N(2,4),半径
所以,圆N的方程为(x﹣2)2+(y﹣4)2=10.(6分)
(2)设M(x,y),D(x1,y1),则由C(3,0)及M为线段CD的中点得:,解得:
. 又点D在圆N:(x﹣2)2+(y﹣4)2=10上,所以有(2x﹣3﹣2)2+(2y﹣4)2=10,化简得:
故所求的轨迹方程为
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【题目】为方便市民休闲观光,市政府计划在半径为200,圆心角为
的扇形广场内(如图所示),沿△
边界修建观光道路,其中
、
分别在线段
、
上,且
、
两点间距离为定长
.
(1)当时,求观光道
段的长度;
(2)为提高观光效果,应尽量增加观光道路总长度,试确定图中、
两点的位置,使观光道路总长度达到最长?并求出总长度的最大值.
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【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率为
,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆C: 的离心率为
,椭圆C与y轴交于A、B两点,|AB|=2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点P是椭圆C上的动点,且直线PA,PB与直线x=4分别交于M、N两点,是否存在点P,使得以MN为直径的圆经过点(2,0)?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.过B1作l交椭圆于P、Q两点,使PB2垂直QB2,求直线l的方程__________.
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【题目】已知直线l1:x+2y﹣1=0,l2:2x+ny+5=0,l3:mx+3y+1=0,若l1∥l2且l1⊥l3,则m+n的值为( )
A.﹣10B.﹣2C.2D.10
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【题目】设复数z=2m+(4-m2)i,当实数m取何值时,复数z对应的点:
(1)位于虚轴上?
(2)位于一、三象限?
(3)位于以原点为圆心,以4为半径的圆上?
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