Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E为PC的中点，EF⊥PB，垂足为F点．

（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）求异面直线BE与PA所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，得以下各点坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），P（0，0，2）…（1分）

连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．G点坐标为（1，1，0）．

又E为PC的中点，E点坐标为（0，1，1），

∴ =（2，0，﹣2）， =（1，0，﹣1）

∴ =2

∴PA∥EG

∵EG平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB

（2）证明：∵ =（2，2，﹣2）， =（0，1，1）

∴ =0

∴PB⊥DE

又∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD．

（3）解：∵ =（﹣2，﹣1，1）， =（2，0，﹣2），

∴|cos＜ ， ＞|=| |= ，

∴异面直线BE与PA所成角的大小为30°．

【解析】（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AC，AC交BD于点G，连接EG．分别求出PA，EG的方向向量，易判断PA与EG平行，进而由线面平行的判定定理得到答案．（2）分别求出DE与PB的方向向量，由它们的数量积为0，易得DE⊥PB，再由EF⊥PB结合线面垂直的判定定理即可得到答案．（3）求出 =（﹣2，﹣1，1）， =（2，0，﹣2），即可求异面直线BE与PA所成角的大小．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用异面直线及其所成的角和直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．