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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

(2)已知点是曲线上的动点,求点到曲线的最小距离.

【答案】(1)(2)

【解析】

(1) 曲线C1的参数方程消去参数,能求出曲线C1的普通方程,曲线C2的极坐标方程利用,能求出曲线C2的直角坐标方程;(2) 设点的坐标为,利用点到直线的距离表示点到曲线的最小距离,结合三角函数的图像与性质即可得到最小值.

(1)消去参数得到

故曲线的普通方程为

,由

得到

,故曲线的普通方程为

(2)〖解法1〗设点的坐标为

到曲线的距离

所以,当时,的值最小,

所以点到曲线的最小距离为.

(2)〖解法2〗设平行直线的直线方程为

当直线与椭圆相切于点P时,P到直线的距离取得最大或最小值。

令其判别式,解得

经检验,当时,点P到直线的距离最小,最小值为

所以点到曲线的最小距离为.

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