Question

已知实数x，y∈（0，

π

2

），且tanx=3tany，则x-y的最大值是

π

6

．

Answer 1

分析：先用两角差的正切公式和条件，求出tan（x-y）的表达式，然后再由已知代换，利用均值不等式求得tan（x-y）的最大值，再已知的条件求出x-y的范围从而得到结果．

解答：解：∵x，y∈（0，

π

2

），∴tanx=3tany＞0，
∴tan（x-y）=

tanx-tany

1+tanx•tany

=

2tany

1+3tan2y

=

2

1 tany +3tany

，
∵

1

tany

+3tany≥2

3

，当且仅当

1

tany

=3tany时取等号，即tany=

3

3

，
∴tan（x-y）=

2

1 tany +3tany

≤

3

3

，即tan（x-y）的最大值为

3

3

，
∵x，y∈（0，

π

2

），∴-

π

2

＜x-y＜

π

2

，则x-y最大值为

π

6

，
故答案为：

π

6

．

点评：本题主要考查两角和与差的正切函数，基本不等式的应用，注意角的范围，考查计算能力，属于中档题．