Question

设函数f（x）=x²-2tx+2，其中t∈R．
（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；
（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．
（3）若对任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若t=1，则f（x）=（x-1）²+1，根据二次函数在[0，4]上的单调性可求函数的值域
（2）由题意可得函数在区间[a，a+2]上，[f（x）]_max≤5，分别讨论对称轴x=t与区间[a，a+2]的位置关系，进而判断函数在该区间上的单调性，可求最大值，进而可求a的范围
（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8等价于M-m≤8，结合二次函数的性质可求

解答：解：因为f（x）=x²-2tx+2=（x-t）²+2-t²，
所以f（x）在区间（-∞，t]上单调减，在区间[t，∞）上单调增，且对任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t-x），
（1）若t=1，则f（x）=（x-1）²+1．
①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范围为[1，2]；
②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范围为[1，10]；
所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．                     …（3分）
（2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）]_max≤5”．
①若t=1，则f（x）=（x-1）²+1，
所以f（x）在区间（-∞，1]上单调减，在区间[1，∞）上单调增．
②当1≤a+1，即a≥0时，
由[f（x）]_max=f（a+2）=（a+1）²+1≤5，得-3≤a≤1，
从而 0≤a≤1．
③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）]_max=f（a）=（a-1）²+1≤5，得-1≤a≤3，
从而-1≤a＜0．
综上，a的取值范围为区间[-1，1]．                             …（6分）
（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8”等价于“M-m≤8”．
①当t≤0时，M=f（4）=18-8t，m=f（0）=2．
由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1．
从而 t∈∅．
②当0＜t≤2时，M=f（4）=18-8t，m=f（t）=2-t²．
由M-m=18-8t-（2-t²）=t²-8t+16=（t-4）²≤8，得
4-2

2

≤t≤4+2

2

．
从而  4-2

2

≤t≤2．
③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2-t²．
由M-m=2-（2-t²）=t²≤8，得-2

2

≤t≤2

2

．
从而 2＜t≤2

2

．
④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18-8t．
由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8，得t≤3．
从而 t∈∅．
综上，t的取值范围为区间[4-2

2

，2

2

]．                      …（10分）

点评：本题主要考查了二次函数闭区间上的最值的求解，解题的关键是确定二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，体现了分类讨论思想的应用．