Question

平面内动点M与点P₁（-2，0），P₂（2，0）所成直线的斜率分别为k₁、k₂，且满足k1k2=-

1

2

．
（1）求点M的轨迹E的方程，并指出E的曲线类型；
（2）设直线l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y 轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且|AC|=|BD|，N(

2

，1)求k的值及△NCD面积取得最大时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设动点M的坐标为（x，y），由k₁•k₂=-

1

2

，可得

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

2

，整理可求
（2）在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得A(-

m

k

，0)，B(0，m)，从而可得AB的中点为Q(-

m

2k

，

m

2

)，联立方程结合方程的根与系数的关系及|AC|=|BD|，可得CD中点就是AB中点，从而可求k，由于CD|=

1+k2

•|x2-x1|=

1+ 1 2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2

•

2m2-4(m2-2)

=

3(4-m2)

，点N到CD的距离d=

| 2 k-1+m|

1+k2

=

6

3

|m|，代入利用基本不等式可求面积的最大值及K的值，进而可求直线方程

解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y），∵k₁•k₂=-

1

2

，∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

2

，即

x2

4

+

y2

2

=1（y≠0）
动点M的轨迹E是中心在原点，半长轴为2，焦点为（±

2

，0）的椭圆
（除去长轴两个端点．）  它的方程是

x2

4

+

y2

2

=1（y≠0）．
（2）在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得A(-

m

k

，0)，B(0，m)，AB的中点为Q(-

m

2k

，

m

2

)
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

⇒(1+2k2)x2+4mkx+2m2-4=0△=32k²-8m²+16，x₁+x₂=-

4mk

1+2k2

，x1•x2=

2m2-4

1+2k2

，
∵|AC|=|BD|，∴CD中点就是AB中点，
即-

4mk

1+2k2

=-

m

k

，4k2=1+2k2，k2=

1

2

，∵k＞0，∴k=

2

2

（2）|CD|=

1+k2

•|x2-x1|=

1+ 1 2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2

•

2m2-4(m2-2)

=

3(4-m2)

点N到CD的距离d=

| 2 k-1+m|

1+k2

=

6

3

|m|，S_△NCD=

1

2

|CD|•d=

1

2

•

3(4-m2)

•

6

3

|m|=

2

2

(4-m2)m2

≤

2

2

 (4-m2+m2)=2

2

当且仅当4-m²=m²时等号成立，即m²=2，m=±

2

，此时△＞0，
所以直线的方程为l：y=

2

2

x±

2

．

点评：本题主要考查了利用直线的斜率关系求解点的轨迹方程，要注意（1）中要去掉不符合条件的点，考查了基本不等式在求解最值中的应用．