Question

已知函数f（x）周期为4，且当x∈（-1，3]时，f（x）=

k 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中k＞0，若方程3f（x）=x恰有5个实数根，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的周期性

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：方程3f（x）=x恰有5个实数根可化为函数f（x）与y=

x

3

的交点的横坐标，作图象分析知，y=k

1-(x-4)2

与y=

x

3

有两个交点，y=k

1-(x-8)2

与y=

x

3

没有交点；从而解得．

解答： 解：方程3f（x）=x恰有5个实数根可化为函数f（x）与y=

x

3

的交点的横坐标，
作函数f（x）与y=

x

3

的图象如下图，

则y=k

1-(x-4)2

与y=

x

3

有两个交点，y=k

1-(x-8)2

与y=

x

3

没有交点；
故由k

1-(x-4)2

=

x

3

化简得，
（9k²+1）x²-72k²x+15×9k²=0；
则由△=72k²×72k²-4×（9k²+1）×15×9k²＞0解得，
k＞

15

3

；
由k

1-(x-8)2

=

x

3

化简得，
（9k²+1）x²-144k²x+63×9k²=0
故△=144k²×144k²-4×（9k²+1）×63×9k²＜0，
解得，k＜

7

；
故k的取值范围是（

15

3

，

7

）；
故答案为：（

15

3

，

7

）．

点评：本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用，属于基础题．