Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过A（-2，0）、B（2，0）、C（1，

3

2

）三点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是射线y=

2

x(x≥

2

3

)上（非端点）任意一点，由点P向椭圆C引两条切线PQ、PT（Q、T为切点），求证：直线QT的斜率为常数．

Answer 1

分析：（1）先设出椭圆方程，再把A（-2，0）、B（2，0）、C（1，

3

2

）三点的坐标代入，即可求出椭圆C的方程；
（2）先设出过点Q切线方程为y-y₁=k（x-x₁），联立直线与椭圆方程，利用直线与椭圆相切，求出k=-

x1

4y1

进而求出切线方程，再利用P（t，

2

t）（t＞

2

3

）在直线PQ上，找到点Q（x₁，y₁）所在直线方程，同样的方法，找到点T（x₂，y₂）也在直线tx+4

2

ty-4=0上，就可求出直线QT的斜率为常数的值．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为mx²+ny²=1，
把A（-2，0）、B（2，0）、C（1，

3

2

）三点坐标代入解得

m= 1 4 n=1

，
故所求方程为.

x2

4

+y²=1．
（2）设点Q（x₁，y₁），T（x₂，y₂），设以Q为切点的椭圆的切线方程为y-y₁=k（x-x₁），
联立

y-y1=k(x-x1) x2+4y2=4

化简为关于（x-x₁）的一元二次方程，
得（1+4k²）（x-x₁）²+2（x₁+4ky₁）（x-x₁）+x₁²+4y₁²-4=0，
①若y₁≠0，因为直线与椭圆相切，所以△=4（x₁+4ky₁）²-4×（1+4k²）×0=0，k=-

x1

4y1

所以切线方程为y-y₁=-

x1

4y1

（x-x₁）．即直线的方程为x₁x+4y₁y-4=0．
又P（t，

2

t）（t＞

2

3

）在直线PQ上，所以tx₁+4

2

ty₁-4=0
即点Q（x₁，y₁）在直线tx+4

2

ty-4=0上．同理，点T（x₂，y₂）也在直线tx+4

2

ty-4=0上，
所以直线QT的方程为tx+4

2

ty-4=0，
所以k_QT=-

2

8

（常数）．
②若y₁=0，容易求得T（-

14

9

，

4 2

9

），Q（2，0）所以k_QT=-

2

8

（常数）
综上得，直线QT的斜率为常数-

2

8

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系．在求椭圆的标准方程时，如果不知道焦点所在位置，一般设方程为mx²+ny²=1，再利用条件求出变量即可．