Question

15．已知定义在R上的函数f（x）存在零点，且对任意m，n∈R都满足f[$\frac{m}{2}$f（m）+f（n）]=f²（m）+2n，则函数g（x）=|f[f（x）]-4|+log₃x-1的零点个数为3．

Answer 1

分析 令f（m）=0得出f[f（n）]=2n，从而得出g（x）=|2x-4|+log₃x-1，分别作出y=1-log₃x和y=|2x-4|的函数图象，根据函数图象的交点个数判断g（x）的零点个数．

解答 解：设m为f（x）的零点，则f（m）=0，
∴f[f（n）]=2n，
∴f[f（x）]=2x，
∴g（x）=|2x-4|+log₃x-1，
令g（x）=0得1-log₃x=|2x-4|，
分别作出y=1-log₃x和y=|2x-4|的函数图象，如图所示：

由图象可知y=1-log₃x和y=|2x-4|的函数图象有3个交点，
∴g（x）=|2x-4|+log₃x-1有3个零点．
故答案为3．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．