Question

已知数列{a_n}为等差数列，且有a₃-a₆+a₁₀-a₁₂+a₁₅=10，a₇=4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设数列{b_n}的每一项都有b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）本题考查数列的基本量，根据题目所给的两个特殊项之间的关系，写出关于数列的首先和公差的方程组，解方程组得到公差和首相，再写出通项公式．
（2）构造一个新数列，给原来的数列加上绝对值，这样数列中的项就会出现三种情况，第一项是正数加上绝对值不变，第二项为零，加上绝对值不变，第三项是负数，加上绝对值以后结果变为原来的相反数，看清原数列的正负可以解决．

解答：解：（Ⅰ）因为{a_n}为等差数列，且3+15=6+12，
∴a₃+a₁₅=a₆+a₁₂，
得a₁₀=10
由a₁₀=a₁+9d及a₇=a₁+6d联立解得a₁=-8，d=2
∴a_n=2n-10
（Ⅱ）a_n=2n-10，令a_n=0得n=5，
当n≤5时，T_n=-n²+9n，
当n＞5时，Tn=

n[-8+(2n-10)]

2

-2×

-8+0

2

×5=n2-9n+40
∴Tn=

-n2+9n      (n≤5) n2-9n+40  (n＞5)

点评：数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．