【题目】已知正项数列{an} 为等比数列,等差数列{bn} 的前n 项和为Sn (n∈N* ),且满足:S13=208,S9﹣S7=41,a1=b2,a3=b3.
(1)求数列{an},{bn} 的通项公式;
(2)设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn (n∈N* ),求Tn;
(3)设,是否存在正整数m,使得cm·cm+1·cm+2+8=3(cm+cm+1+cm+2).
【答案】(1);(2);(3)存在,m=2.
【解析】分析:(1)先根据已知条件列方程求出b1=﹣2,d=3,得到等差数列{bn}的通项,再求出,即得等比数列{an}的通项.(2)利用错位相减法求Tn.(3)对m分类讨论,探究是否存在正整数m,使得cm·cm+1·cm+2+8=3(cm+cm+1+cm+2).
详解:(1)等差数列{bn} 的前n 项和为Sn (n∈N* ),且满足:S13=208,S9﹣S7=41,
即解得b7=16,公差为3,
∴b1=﹣2,bn=3n﹣5,
∵a1=b2=1,a3=b3=4,数列{an} 为等比数列,
∴an=2n﹣1,n∈N*
(2)Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=﹣2×1+1×2+…+(3n﹣5)2n﹣1,①
∴2Tn=﹣2×2+1×22+…+(3n﹣5)2n,②
①﹣①得﹣Tn=﹣2+3(2+22+…+2n﹣1)﹣(3n﹣5)2n=(8﹣3n)2n﹣8,
∴Tn=(3n﹣8)2n+8,n∈N*
(3)∵设,
当m=1时,c1c2c3+8=1×1×4+8=12,3(c1+c2+c3)=18,不相等,
当m=2时,c2c3c4+8=1×4×7+8=36,3(c2+c3+c4)=36,成立,
当m≥3且为奇数时,cm,cm+2为偶数,cm+1为奇数,
∴cmcm+1cm+2+8为偶数,3(cm+cm+1+cm+2)为奇数,不成立,
当m≥4且为偶数时,若cmcm+1cm+2+8=3(cm+cm+1+cm+2),
则(3m﹣5)2m(3m+1)+8=3(3m﹣5+2m+3m+1),
即(9m2﹣12m﹣8)2m=18m﹣20,(*)
∵(9m2﹣12m﹣8)2m≥(9m2﹣12m﹣8)24>18m﹣20,
∴(*)不成立,综上所述m=2.
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【题目】某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数,以, , , , , , 分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求理科综合分数的众数和中位数;
(3)在理科综合分数为, , , 的四组学生中,用分层抽样的方法抽取11名学生,则理科综合分数在的学生中应抽取多少人?
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【题目】动圆M与定圆C:x2+y2+4x=0相外切,且与直线l:x-2=0相切,则动圆M的圆心的轨迹方程为( )
A. y2-12x+12=0 B. y2+12x-12=0
C. y2+8x=0 D. y2-8x=0
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【题目】某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示),大棚占地面积为平方米,其中.
(1)试用表示;
(2)若要使的值最大,则的值各为多少?
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【题目】如图,在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3, DC=2.
(1)若AD⊥BC,求∠BAC的大小;
(2)若∠ABC= ,求△ADC的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,焦点在x轴上的椭圆C: =1经过点(b,2e),其中e为椭圆C的离心率.过点T(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于A,B两点(A在x轴下方).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M,N,求 的值;
(3)记直线l与y轴的交点为P.若 = ,求直线l的斜率k.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 数列{bn},{cn}满足 (n+1)bn=an+1﹣ ,(n+2)cn= ﹣ ,其中n∈N*.
(1)若数列{an}是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;
(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn , 求证:数列{an}是等差数列.
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【题目】某抛掷骰子游戏中,规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子,若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷,其中抛掷骰子不成功得0分,第1次成功得3分,第2次成功得3分,第3次成功得4分.游戏规则如下:抛掷1枚骰子,第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功,第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功,第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量表示该游戏者所得分数.
(1)求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率;
(2)求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立,则称函数是“超导函数”.
(1)请举一个“超导函数” 的例子,并加以证明;
(2)若函数与都是“超导函数”,且其中一个在R上单调递增,另一个在R上单调递减,求证:函数是“超导函数”;
(3)若函数是“超导函数”且方程无实根,(e为自然对数的底数),判断方程的实数根的个数并说明理由.
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