Question

定义[x]：表示不超过实数x的最大整数，如[π]=3，，[-1.09]=-2，并定义{x}=x-[x]．如{3.14}=0.14，{-1.01}=0.99，有以下命题：
①函数y={x}的定义域为R，值域为[0，1]；
②方程有无数多个解；
③函数y={x}为周期函数；
④关于实数x的方程ln²x-[lnx]-2=0的解有3个．
其中你认为正确的所有命题的序号为________．

Answer 1

②③④
分析：要使解析式有意义，得出函数{x}的定义域为R，由周期函数的定义证明此函数为周期函数，故只需求出一个周期的上的值域，即为整个函数的值域，把方程解的个数问题转化为函数图象的交点问题．
解答：解：∵函数{x}的定义域为R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴③是正确的，
当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），∴①错误，
当x=时，{x}=，又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴x=+k时（k∈Z），{x}=∴②是正确的，
对于④令lnx=t，则方程的解的个数等价于[t]=t²-2，在同一个坐标系中分别作出函数y=[t]，和y=t²-2的图象，
它们的交点个数就是原方程解的个数，由图可知交点为A、B、C，即个数为3，∴④是正确的．
故答案为②③④．
点评：此题是自定义一个函数，求函数的性质，找出准确的切入点是解决问题的关键，属基础题．