Question

已知△ABC中∠ACB=90°，AS=BC=1，AC=2，SA⊥面ABC，AD⊥SC于D．
（1）求证：AD⊥面SBC；
（2）求二面角A-SB-C的大小．

Answer 1

解：（1）∵SA⊥面ABC，BC⊆面ABC，∴SA⊥BC
又∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，且AC∩SA=A，
∴BC⊥面SAC
∵AD?平面SAC，∴BC⊥AD
又∵SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥面SBC
（2）过D作DE⊥BS交BS于E，连接AE，
∵AD⊥面SBC，SB⊆面SBC，∴AD⊥SB
∵DE⊥BS，AD、DE是平面ADE内的相交直线
∴SB⊥面ADE，可得AE⊥AB
因此，∠AED为二面角A-SB-C的平面角，
由AS=BC=1，AC=2，得Rt△ACS中，AD=，
Rt△SAB中，AB==，可得
∴Rt△ADE中，，
由此可得：二面角A-SB-C的大小为
分析：（1）由SA⊥面ABC，得到SA⊥BC，结合BC⊥AC和线面垂直的判定定理，得到BC⊥面SAC，从而有BC⊥AD，再结合SC⊥AD，即可得到AD⊥面SBC．
（2）过D作DE⊥BS交BS于E，连接AE．用线面垂直的判定与性质，可证出∠AED为二面角A-SB-C的平面角，在Rt△ACS中算出AD的长，Rt△SAB中算出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用三角函数在直角三角形的定义，得到∠AED的正弦值，即可得到二面角A-SB-C的大小．
点评：本题给出底面是直角三角形且一条侧棱与底面垂直的三棱锥，求证线面垂直并且求二面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质和二面角平面角的作法等知识，属于中档题．