Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，
（1）求f（x）的单调区间；  
（2）求f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；  
（2）由（1）可知，在[0，3]上f（x）有极小值$f（2）=-\frac{4}{3}$，而f（0）=4，f（3）=1，即可求f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）因为$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$，所以f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2）…（2分）
由f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，…（4分）
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（2，+∞）； …（5分）
由f'（x）＜0得-2＜x＜2…（7分）
故函数f（x）的单调递减区间为（-2，2）…（8分）
（2）令f'（x）=x²-4=0得x=±2…（9分）
由（1）可知，在[0，3]上f（x）有极小值$f（2）=-\frac{4}{3}$，…（10分）
而f（0）=4，f（3）=1，
因为$-\frac{4}{3}＜1＜4$…（11分）
所以f（x）在[0，3]上的最大值为4，最小值为$-\frac{4}{3}$．…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．