Question

下列说法正确的是（　　）

• A、曲线的切线和曲线的交点有且只有一个
• B、过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
• C、若f′（x₀）不存在，则曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处无切线
• D、若y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处有切线，则f′（x₀）不一定存在

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：举例说明选项A，B错误；由可导与连续的关系说明C错误，D正确．

解答： 解：对于A，曲线的切线和曲线的交点不一定唯一，如曲线y=x³+1在（-

1

2

，

7

8

）处的切线与曲线有另外一个交点（1，2）；
对于B，过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如经过曲线上一点但是不是在该点与曲线相切而是在其他地方相切，比如y=y=x³与y=3x-2相切于点（1，1），同时经过点另外一点（a，b），我们就可以说过点（a，b）的直线y=3x-2与曲线y=x³相切，但切点是（1，1）而不是（a，b）；
对于C，若f′（x₀）不存在，则曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处无切线错误，如曲线在某点处的切线垂直于x轴，此时f′（x₀）不存在，但曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处有切线；
对于D，由曲线在一点有平行y轴的切线，且函数在该点不连续，则f′（x₀）不一定存在．
故选：D．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了可导与连续间的关系，关键在于学生对导数概念的理解，是中档题．