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在△ABC中,已知三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,向量
m
=(a,b),
n
=(cos(2π-B),sin(
π
2
+A)),若a≠b且
m
n

(Ⅰ)试求内角C的大小;
(Ⅱ)若a=6,b=8,△ABC的外接圆圆心为O,点P位于劣弧
AC
上,∠PAB=60°,求四边形ABCP的面积.
分析:(Ⅰ)由两向量的坐标,及两向量平行,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,整理后求出A+B的度数,即可确定出内角C的大小;
(Ⅱ)根据题意画出图形,连接PB,利用圆周角定理得到∠APB为直角,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AP的长,再利用两角和与差的正弦函数公式求出sin∠PAC的值,利用三角形面积公式求出三角形ACP的面积,加上三角形ABC面积即可得到四边形ABCP的面积.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)∵
m
=(a,b),
n
=(cos(2π-B),且
m
n

∴bcosB-acosA=0,
利用正弦定理化简得:sinBcosB-sinAcosA=0,
即sin2A=sin2B,
∵a≠b,∴A≠B,
∴2A+2B=π,即A+B=
π
2

则C=
π
2

(Ⅱ)由题意得:BC=6,AC=8,根据勾股定理得:AB=10,
∵AB为圆的直径,∠PAB=60°,连接PB,
∴∠APB=90°,∠ABP=30°,
∴AP=
1
2
AB=5,
∵∠PAB=60°,sin∠CAB=
3
5
,cos∠CAB=
4
5

∴sin∠PAC=sin(60°-∠CAB)=
3
2
×
4
5
-
1
2
×
3
5
=
4
3
-3
10

则S四边形ABCP=S△APC+S△ABC=
1
2
×5×8×
4
3
-3
10
+
1
2
×8×6=8
3
-6+24=8
3
+18.
点评:此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及平面向量的数量积运算,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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C-A
2
=
1
2
1
2

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[  ]
A.

1

B.

3

C.

1

D.

3

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