Question

如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=

3

（1）求证：CD⊥平面ADS；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值．
（3）求点A到面SBC的距离．

Answer 1

分析：（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；
（2）过A作AE⊥DB于E  又过A作AF⊥SB于F，连接EF，可得∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值；
（3）根据AD∥BC，可得点A到面SBC的距离等于点D到面SBC的距离，从而可得结论．

解答：（1）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD
又∵AD∩SD=D
∴CD⊥平面ADS
（2）解：∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB，AB∩AD=A
∴SD⊥面ABCD．
∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．
过A作AE⊥DB于E，则AE⊥平面SDB，过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB
∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角
在矩形ABCD中，对角线BD=

5

∴在△ABD中，AE=

AB•CD

BD

=

2 5

5

Rt△SDC中，SC=

7

，Rt△SBC，SB=

8

而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB²=SA²+AB²，
∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，
∴AF=

2

2

AB=2
∴sin∠AFE=

AE

AF

=

10

5

∴所求的二面角的余弦值为

15

5

；
（3）解：∵AD∥BC，∴点A到面SBC的距离等于点D到面SBC的距离
∵SD⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴SD⊥BC
∵BC⊥CD，SD∩CD=D，∴BC⊥平面SDC
∴平面SBC⊥平面SDC
过D作DM⊥SC，垂足为M，则DM⊥平面SBC，即DM为点D到面SBC的距离
在△SDC中，SD=

3

，CD=2，∴SC=

7

，
∴DM=

SD×DC

SC

=

2 21

7

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查点面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．