Question

17．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）=4^{f（x）+${\;}^{\frac{1}{2}}$x}+m•2^x-1，x∈[0，log₂3]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（-x）=f（x），可得k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点，方程log₄（4^x+1）-x=a无解，则函数g（x）=${log}_{4}（1+\frac{1}{{4}^{x}}）$的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；
（3）函数h（x）=4^x+m•2^x，x∈[0，log₂3]，令t=2^x∈[1，3]，则y=t²+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即 log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx恒成立．
∴2kx=log₄（4^-x+1）-log₄（4^x+1）=${log}_{4}\frac{{4}^{-x}+1}{{4}^{x}+1}$=${log}_{4}{4}^{-x}$=-x，
∴k=-$\frac{1}{2}$   …（3分）
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点，
则方程log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a即方程log₄（4^x+1）-x=a无解．
令g（x）=log₄（4^x+1）-x=${log}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{x}}$=${log}_{4}（1+\frac{1}{{4}^{x}}）$，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点．…（4分）
∵g（x）在R上是单调减函数．$1+\frac{1}{{4}^{x}}＞1$，
∴g（x）＞0．
∴a≤0 …（7分）
（3）由题意函数h（x）=4^{f（x）+${\;}^{\frac{1}{2}}$x}+m•2^x-1=4^x+m•2^x，x∈[0，log₂3]，
令t=2^x∈[1，3]，则y=t²+mt，t∈[1，3]，…（8分）
∵函数y=t²+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=-$\frac{m}{2}$，
故当-$\frac{m}{2}$≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1，
当1＜-$\frac{m}{2}$＜3，即-6＜m＜-2时，当t=-$\frac{m}{2}$时，函数取最小值$-\frac{{m}^{2}}{4}$=0，解得：m=0（舍去），
当-$\frac{m}{2}$≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），
综上所述，存在m=-1满足条件．…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．