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17.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点,求a的取值范围;
(3)若函数h(x)=4f(x)+${\;}^{\frac{1}{2}}$x+m•2x-1,x∈[0,log23],是否存在实数m使得h(x)最小值为0,若存在,求出m的值; 若不存在,请说明理由.

分析 (1)若函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数,则f(-x)=f(x),可得k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点,方程log4(4x+1)-x=a无解,则函数g(x)=${log}_{4}(1+\frac{1}{{4}^{x}})$的图象与直线y=a无交点,则a不属于函数g(x)值域;
(3)函数h(x)=4x+m•2x,x∈[0,log23],令t=2x∈[1,3],则y=t2+mt,t∈[1,3],结合二次函数的图象和性质,分类讨论,可得m的值.

解答 解:(1)∵函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即 log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx恒成立.
∴2kx=log4(4-x+1)-log4(4x+1)=${log}_{4}\frac{{4}^{-x}+1}{{4}^{x}+1}$=${log}_{4}{4}^{-x}$=-x,
∴k=-$\frac{1}{2}$   …(3分)
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+a没有交点,
则方程log4(4x+1)-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a即方程log4(4x+1)-x=a无解.
令g(x)=log4(4x+1)-x=${log}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{x}}$=${log}_{4}(1+\frac{1}{{4}^{x}})$,则函数g(x)的图象与直线y=a无交点.…(4分)
∵g(x)在R上是单调减函数.$1+\frac{1}{{4}^{x}}>1$,
∴g(x)>0.
∴a≤0 …(7分)
(3)由题意函数h(x)=4f(x)+${\;}^{\frac{1}{2}}$x+m•2x-1=4x+m•2x,x∈[0,log23],
令t=2x∈[1,3],则y=t2+mt,t∈[1,3],…(8分)
∵函数y=t2+mt的图象开口向上,对称轴为直线t=-$\frac{m}{2}$,
故当-$\frac{m}{2}$≤1,即m≥-2时,当t=1时,函数取最小值m+1=0,解得:m=-1,
当1<-$\frac{m}{2}$<3,即-6<m<-2时,当t=-$\frac{m}{2}$时,函数取最小值$-\frac{{m}^{2}}{4}$=0,解得:m=0(舍去),
当-$\frac{m}{2}$≥3,即m≤-6时,当t=3时,函数取最小值9+3m=0,解得:m=-3(舍去),
综上所述,存在m=-1满足条件.…(12分)

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的值域,函数的单调性,二次函数的图象和性质,难度中档.

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