Question

如图，为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角.
(1)求证: MN分别与α、β所成角相等；
(2)求MN与β所成角.

Answer 1

(1) 证明略(2) MN与β所成角为30°

 作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD.

∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA.
在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA.
在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立.
(2)解:设∠MNB=θ,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asinθ，NB=acosθ?,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，
∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,
∴BD=AC=asinθ,CN=DM=asinθ,
∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN
∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴


整理得，16sin⁴θ－16sin²θ+3=0
解得sin²θ=,sinθ=，
当sinθ=时，CN=asinθ=a＞PN不合理，舍去.
∴sinθ=,∴MN与β所成角为30°.