Question

已知θ为向量

a

与

b

的夹角，|

a

|=2，|

b

|=1，关于x的一元二次方程x²-|

a

|x+

a

•

b

=0有实根．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f(θ)=sinθcosθ+

3

cos2θ-

3

2

的最值．

Answer 1

分析：（I）由方程x²-|a|x+a•b=0有实根，可得△=|

a

|²-4

a

•

b

=4（1-2cosθ）≥0，得cosθ≤

1

2

，结合θ∈[0，π]可求
（II）利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数化简可得f(θ)=sinθcosθ+

3

cos2θ-

3

2

=sin（2θ+

π

3

），结合θ的范围及正弦函数的性质可求函数的最值

解答：解：（I）由题意可得θ∈[0，π]，由|

a

|=2，|

b

|=1，可得|

a

|²=4，

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ．…（3分）
∵方程x²-|a|x+a•b=0有实根，则有△=|

a

|²-4

a

•

b

=4（1-2cosθ）≥0，得cosθ≤

1

2

，所以θ∈[

π

3

，π]．…（6分）
（II）∵f(θ)=sinθcosθ+

3

cos2θ-

3

2

=

1

2

sin2θ+

3

(

cos2θ+1

2

)-

3

2

=

1

2

sin2θ+

3

2

cos2?=sin(2θ+

π

3

)…（9分）
又因为θ∈[

π

3

，π]，所以2θ+

π

3

∈[π，

7π

3

]，
所以sin（(2θ+

π

3

)∈[-1，

3

2

]
所以，函数的最大值为

3

2

，最小值为-1．…（12分）

点评：本题以向量的数量积的运算为载体主要考查了三角函数性质的应用，属于基础试题