某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格 (单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
(1) a=2 (2) 当销售价格x=4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42.
解析试题分析:解:(1)由题设知x=5时y=11,则11=+10(5-6)2,解得a=2. 3分
(2)由(1)知该商品每日的销售量y=+10(x-6) 2,所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)=(x-3) [+10(x-6) 2]=2+10(x-3) (x-6) 2,3<x<6. 6分
对函数f(x)求导,得f ′(x)=10[(x-6) 2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).
令f ′(x)=0及3<x<6,解得x=4. 10分
当3<x<4时,f ′(x)>0,当4<x<6时,f ′(x)<0,于是有函数f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,所以当x=4时函数f(x)取得最大值f(4)=42. 13分
答:当销售价格x=4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42.
考点:函数的模型的运用
点评:解决的关键是对于已知中的利润函数的 准确表示,然后借助于导数的知识来得到最值,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当居民用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元。若某月某用户用水量为x吨,交水费为y元。
(1)求y关于x的函数关系
(2)若某用户某月交水费为31.2元,求该用户该月的用水量。
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某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定对这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为元/千克,政府补贴为元/千克,根据市场调查,当时,这种食品市场日供应量万千克与市场日需量万千克近似地满足关系:,。当市场价格称为市场平衡价格。
(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域;
(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元,政府补贴至少为每千克多少元?
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已知函数是定义在上的奇函数,当时,有(其中为自然对数的底,).
(1)求函数的解析式;
(2)设,,求证:当时,;
(3)试问:是否存在实数,使得当时,的最小值是3?如果存在,求出实数的值;如果不存在,请说明理由.
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两县城A和B相距20km,现计划在两县城外,以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在AB的中点时,对A和城B的总影响度为0.065。
(1)将表示成的函数;
(2)判断弧AB上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。
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(12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: ,其中是仪器的月产量
(1)将利润表示为月产量的函数
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利润)
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