Question

(本小题满分12分)

有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池。

（Ⅰ）写出以x为自变量的容积V的函数解析式V(x)，并求函数V(x)的定义域；

（Ⅱ）指出函数V(x)的单调区间；

（Ⅲ）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

（Ⅰ）x∈(0,3)   （Ⅱ）（0，1），（1，3）   （Ⅲ）4m时，其最大容积是

解析:

（Ⅰ）设蓄水池的底面边长为a，则a=6-2x,

则蓄水池的容积为：.            

由得函数V(x)的定义域为x∈(0,3).           ………4分

（Ⅱ）由得.

令，解得x<1或x>3;         

令，解得1<x<3.             

故函数V(x)的单调增区间是（0，1），单调减区间为（1，3）. ………8分

（Ⅲ）令，得x=1或x=3（舍）.

并求得V(1)=16.   由V(x)的单调性知，16为V(x)的最大值.                  

故蓄水池的底边为4m时，蓄水池的容积最大，其最大容积是.   ………12分