Question

已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+2

3

cos2ωx-

3

-1（其中ω＞0），x₁、x₂是函数y=f（x）的两个不同的零点，且|x₁-x₂|的最小值为

π

3

．
（1）求ω的值；
（2）若f(a)=

2

3

，求sin(

5π

6

-4a)的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正弦可将f（x）化简为f（x）=2sin（2ωx+

π

3

）-1，由f（x）=0可求得sin（2ωx+

π

3

）=

1

2

，依题意可求得|x₁-x₂|_min=

π

3ω

=

π

3

，从而可求得ω的值；
（2）由f（α）=

2

3

，得sin（2α+

π

3

）=

5

6

，利用诱导公式与二倍角的余弦公式可求得sin（

5π

6

-4α）的值．

解答：解：（1）f（x）=sin2ωx+

3

cos2ωx-1=2sin（2ωx+

π

3

）-1，
由f（x）=0得：2sin（2ωx+

π

3

）-1=0，
∴sin（2ωx+

π

3

）=

1

2

，
∵x₁、x₂是函数y=f（x）的两个不同的零点，
∴2ωx₁+

π

3

=

π

6

+2kπ或2ωx₂+

π

3

=

5π

6

+2kπ（k∈Z），
∴2ω|x₁-x₂|=2kπ或2ω|x₁-x₂|=2kπ+

2π

3

，
∴|x₁-x₂|_min=

π

3ω

=

π

3

，
∴ω=1．
（2）f（x）=2sin（2x+

π

3

）-1，
由f（a）=

2

3

，得2sin（2a+

π

3

）-1=

2

3

，
∴sin（2α+

π

3

）=

5

6

，
∴sin（

5π

6

-4α）
=-cos[

3π

2

-（

5π

6

-4α）]
=-cos2（2α+

π

3

）
=2sin2(2α+

π

3

)-1
=2×

25

36

-1
=

7

18

．

点评：本题考查两角和与差的正弦，着重考查函数的零点的理解与应用，突出考查三角函数的化简求值，属于中档题．