Question

求所有自然数n（n≥2），使得存在实数a₁，a₂，…，a_n，满足：{|a_i-a_j||1≤i＜j≤n}={1，2，…，

n(n-1)

2

}．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：n=2，3，4，再利用数学归纳法进行证明即可．

解答： 解：n=2时，a₁=1，a₂=2符合题意
n=3时，a₁=1，a₂=2，a₃=4符合题意
n=4时，a₁=1，a₂=2，a₃=5，a₄=7符合题意
假设n≥5时，存在a₁，a₂…a_n符合题意
由于形如︳a_i-a_j︳（1≤i＜j≤n）的数共有

n(n-1)

2

个，且由题意它们两两不同都是正整数，所以不存在i，j，i≠j使得a_i=a_j．
不妨设a₁＜a₂＜…＜a_n．
由于︳a_n-a₁︳，︳a_n-1-a₁︳，︳a_n-a₂︳两两不同
则︳a_n-a₁︳≤

n(n-1)

2

，（a_n-a₁）+（a_n-1-a₁）+（a_n-a₂）≤

3n(n-1)

2

-3
当n=2k+1≥5时
︳a₂-a₁︳，︳a₃-a₂︳…︳a_n-a_n-1︳，︳a₃-a₁︳，︳a₅-a₃︳…︳a_n-a_n-2︳是不同的3k个数，和≥1+2+3+…+3k=

3k(3k+1)

2

另一方面他们的和为a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1+a₃-a₁+a₅-a₃+…+a_n-a_n-2=2（a_n-a¹）≤n（n-1）=2k（2k+1）
所以2k（2k+1）≥

3k(3k+1)

2

，解得0≤k≤1，矛盾
当n=2k≥6时，︳a₂-a₁︳，︳a₃-a₂︳…︳a_n-a_n-1︳，︳a₃-a₁︳，︳a₅-a₃︳…︳a_n-a_n-3︳，︳a₄-a₂︳，︳a₆-a₄︳…︳a_n-a_n-2︳，是不同的（4k-3）个数，和≥1+2+3+…+（4k-3）=

1

2

（4k-3）（4k-2）=（2k-1）（4k-3）
另一方面他们的和为a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1+a₃-a₁+a₅-a₃+…+a_n-a_n-2=（a_n-a₁）+（a_n-1-a₁）+（a_n-a₂）≤

3

2

n（n-1）-3=3k（2k-1）-3
所以3k（2k-1）-3≥（4k-3）（2k-1）
解得

3

2

≤k≤2，矛盾
故假设不成立，n=2，3，4．

点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．