Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．

（1）证明：AC1⊥A1B；
（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为 ，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A1D⊥平面ABC，A1D平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC

∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，

由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，

又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，

∴AC1⊥平面A1BC，AB1平面A1BC，

∴AC1⊥A1B；

（2）解：∵BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，

∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，

作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，

又直线AA1∥平面BCC1B1，

∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E= ，

∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E= ，

作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，

又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，

∴AB⊥平面A1DF，∵A1F平面A1DF

∴A1F⊥AB，

∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，

由AD= =1可知D为AC中点，

∴DF= = ，

∴tan∠A1FD= = ，

∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan

【解析】（1）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（2）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．