Question

2．若关于x的方程x²-x+m=0和x²-x+n=0（m，n∈R，且m≠n）的四个根组成首项为$\frac{1}{4}$的等差数列，求m+n的值．

Answer 1

分析 根据韦达定理确定a₁+a₂+a₃+a₄=1+1=2，再结合等差数列的性质可得到a₁+a₄=a₂+a₃=1，进而可求得a₄和d，以及a₂、a₃的值，从而由m+n=a₁a₄+a₂a₃可确定答案．

解答 解：依题意设四根分别为a₁、a₂、a₃、a₄，公差为d，其中a₁=$\frac{1}{4}$，即a₁+a₂+a₃+a₄=1+1=2．
又a₁+a₄=a₂+a₃，∴a₁+a₄=a₂+a₃=1．
由此求得a₄=$\frac{3}{4}$，d=$\frac{1}{6}$，
于是a₂=$\frac{5}{12}$，a₃=$\frac{7}{12}$．
故m+n=a₁a₄+a₂a₃=$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{5}{12}$×$\frac{7}{12}$=$\frac{62}{144}$=$\frac{31}{72}$．

点评 本题主要考查等差数列的性质和韦达定理的应用，考查基础知识的综合运用和计算能力，是基础题．